Paso 3. Determinación del tiempo más próximo y más tardío. Un evento puede tener uno o mas valores, depende de la relación de actividad-tiempo. Muchos eventos tienen una gama de tiempos de evento posibles, por lo cual necesitamos saber la fecha más próxima en que puedan iniciarse las actividades que se originan a partir de un evento. Este es el tiempo esperado más próximo. De modo semejante, se necesita saber la fecha más tardía o más lejana en la que se puedan concluir las actividades que tienen su término en un evento y que aún permiten que el proyecto íntegro se termine como lo indica el programa. A esto se le llama el tiempo más tardío.

Paso 4. Determinación de la ruta o rutas críticas. La ruta critica en la red, es el trayecto o camino del tiempo mas largo para cruzar la red. Esto se logra observando los eventos en la ruta crítica – aquellos cuyos tiempos esperados mas próximas son iguales a sus tiempos mas tardíos admisibles.

Paso 5. Calculo de holgura. Al tiempo del que se dispone libremente en una red PERT, se lo conoce comúnmente como holgura y puede definirse en dos formas. La holgura total es el tiempo que puede retrasarse una actividad desde su iniciación, sin afectar el tiempo de terminación del proyecto total. La holgura libre de una actividad es el tiempo que puede retrasarse una actividad desde su iniciación, sin afectar la iniciación de las actividades subsiguientes.

La fórmula de la holgura S (total), expresa la diferencia entre el tiempo mas tardío admisible TL, y el tiempo mas proximo esperado TE, y tiene la siguiente forma:

S = TL - T

PASO 6. Evaluación de la red PERT . la red PERT se evalúa desde un punto de vista general. Si el tiempo total no es satisfactorio, se realinean los recursos, se agrega personal procedente de las actividades no criticas, se utiliza tiempo extra y se usan esquemas comparables para mejorar las fechas de determinación en todo el proyecto. La red PERT se vuelve a elaborar empleando los pasos precedentes.

PERT/Costo

Esta técnica fue desarrollada en 1962 como una extensión de la del PERT/Tiempo, integra los datos de tiempo con los datos de costo. De manera que puedan calcularse los intercambios entre ambos. Esta técnica cambia el enfoque del volumen, ejemplo costo por pieza producida, costo por cada actividad.

La técnica PERT/ Costo requiere de una gran coordinación de las actividades de ingeniería, calculo, control y contabilidad.

Relación Tiempo-Costo. En la red hay cálculos de tiempo y costo indicados para cada actividad. Una de ellas es la estimación normal y otra la de emergencia o de determinación acelerada. La estimación normal del tiempo es análoga al cálculo del tiempo esperado. El costo normal asociado con la terminación del proyecto en el tiempo normal. La estimación del tiempo de emergencia o de terminación acelerada es el tiempo en el que se requeriría si no se ahorraran costos para tratar de reducir el tiempo del proyecto.

Las relaciones tiempo-costo pueden tomar muchas formas, como se ilustra en la figura 5-14. El caso A s una relación de tiempo-costo en la cual puede efectuarse una reducción de tiempo con un moderado incremento del costo. En cambio, en el caso B es una relación de tiempo-costo en la cual se puede lograr una reducción del tiempo con un gran incremento del costo. El tiempo mas común de relación la costo-tiempo es una línea recta trazada entre el caso A y el B la cual es una aproximación lineal razonablemente exacta de la relación verdadera. Para demostrar el incremento moderado en el costo para el caso A y el incremento grande en el costo para el caso B se transformaron varias líneas en la figura 5-14. Las líneas D, E, F, y H son aplicables al caso A mientras que las líneas C, E, G y H relacionadas con el caso B.

Figura 5-14 Relaciones tiempo-costo

Quiebre
C Caso B
Costos Caso A
D
E Normal


F G H

Tiempo
El costo incremental, Ic, es el costo de termino acelerado Cc menos el costo normal Nc, dividido entre el tiempo normal nT menos el tiempo de terminación acelerada CT.

Lo anterior se expresa como sigue:

Ic = Cc – Nc
-------------
NT – CT

Ventajas del PERT

Desde el punto de vista de la gerencia, PERT especifica la forma en que se ha de hacer la planeacion. Proporciona a la gerencia un enfoque para mantener la planeacion actualizada al irse cumpliendo los diversos eventos y a medida que las condiciones cambian. PERT permite a la gerencia prever rápidamente el efecto de las desviaciones respecto al plan, y en consecuencia realizar una acción correctiva anticipada en las áreas con problemas latentes y no después de que los casos ocurran. Probablemente, la ventaja principal de la técnica PERT es que ayuda a la gerencia a lograr un objetivo o a terminar un proyecto con el gasto mínimo de tiempo y costo.

PERT ayuda a eliminar la vaguedad de las asignaciones de responsabilidades.

Otra ventaja importante es que proporciona un número de verificaciones y salvaguarda para evitar que se incurran en errores al desarrollar un plan.

Desventajas del PERT

El adiestramiento del personal puede ser un problema importante y surge de la resistencia al cambio y del tiempo requerido para aprender la técnica PERT eficazmente. Desarrollar una red clara y lógica es otra área de cierta dificultad. Una de las áreas de problemas que mas se mencionan, en la técnica PERT, es la determinación del nivel correcto de detalle de la red.

Otras dificultades que se presentan son las técnicas de integración de redes con los procedimientos existentes de presupuestación y contabilidad y la elaboración de estimaciones provisionales por personal que sabe que se revisaran cuidadosamente los tiempos y los costos.

Costo de utilización de la técnica PERT

La variedad de las condiciones actuales en las empresas impide decir con precisión cuanto puede costar la aplicación de la técnica PERT.

El costo de las redes PERT/Tiempo varía de 0.5 a 2% de los costos totales del proyecto.

Para las redes PERT/Costo los costos son del 1 al 5% sobre los costos totales del proyecto. Hay ahorros en los costos directos y en los indirectos por la utilización de esta técnica. Como hay costos de planeacion asociados con otras técnicas diferentes deberían tomar en cuenta solo los costos extras por la utilización de esta técnica. El costo marginal que representa la utilización del PERT debe compararse con sus ahorros marginales, ya que la reducción del tiempo de los trabajadores que es el costo principal de la mayoría de los proyectos representa grandes economías en los costos.

3º departamental

PERT (PROGRAM EVOLUTION REVIEW TECHNIQUE)

La Técnica de Revisión y Evaluación de Programas (PERT) nació en 1576 de la desesperación por el desarrollo del primer proyectil Polaris de la Marina de los Estados Unidos, quienes se dieron cuenta de que todos los métodos convencionales de dirección eran inadecuados para coordinar a todos los involucrados en el proyecto y para marchar al ritmo que requería el proyecto.

El Sr. Willard Fazar de la Oficina de Proyectos Especiales, con ayuda de la Division de Proyectiles y asuntos Especiales de la Lockheed y de consultores de Booz, Allen & Hamilton, ideó la técnica PERT como un diagrama de flujo del tipo de red con incertidumbre incorporada. Fazar utilizó 3 aproximaciones: la optimista, la normal y la pesimista.

TRANSFORMACIÓN DE LA GRÁFICA DE GANTT A UNA RED PERT

La gráfica de metas intermedias de Gantt es la grafica que representa el trabajo por realizar, muestra las relaciones que existen entre las metas intermedias dentro de la misma actividad, pero no las relaciones entre las metas parciales que hay en las diferentes tareas.

La modificación de la gráfica de Gantt para mostrar lo anterior se logra en 3 pasos:

1.-Consiste en el reemplazo de los rectángulos por flechas que unen las metas intermedias.

2.- se suman las relaciones que existen entre las metas intermedias de las diversas actividades.

3.- En el paso final se elimina el termino tarea o actividad, pues se representan con flechas. Se elimina la escala de tiempo de la gráfica de Gantt y se sustituye con el tiempo individual de cada una de las flechas.

PERT/ Tiempo

Para la planeación y control de un proyecto PERT/Tiempo se desarrollaron 6 pasos.

Paso 1. Construcción de la red PERT. En una red PERT se trata de desarrollar una secuencia lógica de las actividades por realizar para llevar acabo el proyecto y la correlación de estas actividades respecto al tiempo. El termino actividad (trabajo) se define como una etapa de trabajo del proyecto total y se representa con una flecha. El extremo de la flecha representa el comienzo de la actividad y la pinta su terminación.
Es necesario trazar el diagrama de las flechas para mostrar la forma en que las actividades se relacionan en cuanto al tiempo.
Los puntos de iniciación y terminación de las actividades aparecen en números encerrados en círculos, reciben el nombre de eventos o nodos.
Los eventos son puntos del tiempo contrastando con las actividades que tienen cierta duración o longitud. Los eventos se numeran en serie desde la iniciación hasta la terminación de un proyecto. La regla general para numerarlos es que ningún evento se puede numerar antes que los precedentes.

El termino red se refiere a las actividades y eventos que se combinan, dando resultado un diagrama.

La red PERT muestra relaciones simples de secuencia respecto al tiempo. En algunos casos, requiere del uso de flechas que no representan ninguna actividad y que solo se insertan para que el modelo de actividades sea claro. A estas flechas se les llama flechas ficticias, y se representan con flechas de líneas punteadas.

Paso 2. Calculo del tiempo esperado. Asignar tiempos a las actividades individuales es esencial para complementar una red PERT.

te = a + 4m + b
6
Donde:

a = tiempo mas optimista
m = tiempo mas probable
b = tiempo mas pesimista

Cuando se aplica esta formula a una curva acampanada normal, el valor calculado de te representa el valor del centro de la curva que es el que se desea con este tipo de curva. El tiempo esperado te representa el valor específico del tiempo (horas, días, semanas o alguna otra base).

Para cada renglón o columna en el que quede alguna oferta o alguna demanda, se calcula su penalización, que es la diferencia no negativa entre los 2 costos más pequeños de transporte Cij asociados con las variables no asignadas en ese renglón o en esa columna. Se considera el renglón o la columna para la mayor diferencia (en caso de empate se selecciona uno arbitrariamente). En este renglón o columna se localiza la variable no asignada (celdilla) que tenga el costo unitario más pequeño de transporte y se le asignan tantas unidades como sea posible sin ir en contra de las restricciones; se calculan las nuevas diferencias y se repite el procedimiento anterior hasta satisfacer todas las demandas.

Asiognación

El problema de asignación tiene que ver con la asignación de tareas a empleados, de territorios a vendedores, de contratos a postores o de trabajos a plantas. Al aplicar el método de transporte y el método de asignación la gerencia está buscando una ruta de distribución o una asignación que optimizará algún objetivo; éste puede se la minimización del costo total, la maximización de las utilidades o la minimización del tiempo total involucrado.

Al igual que el método de transporte el método de asignación es computacionalmente más eficiente que el método simplex para una clase especial de problemas. El método de asignación también conocido como la Técnica de flood o el método Húngaro de asignación. Hay básicamente tres pasos en este método

Determine la tabla de costo de oportunidad:
Reste el elemento del costo más bajo en cada columna de la tabla de costo dada, de todo los elementos en esa columna.
Reste el asiento más bajo en cada renglón de la tabla obtenida en la parte 1.1 de todos los números en ese renglón.
Determine si se puede hacer una asignación óptima: El procedimiento es dibujar líneas rectas (verticales y horizontales) a través de la tabla de costos total de oportunidad, de tal manera que se minimice el número de líneas necesarias para cubrir todos los cuadros CERO. Si el número de líneas dibujadas es menor que el número de renglones o columnas, no se puede hacer una asignación óptimas y el problema no está resuelto.
Revise la tabla de costo total de oportunidad.
Seleccione el número más pequeño en la tabla no cubierto, por una línea recta y reste este número de todos los números no cubiertos por una línea recta.
Añada este mismo número a los números que están en la intersección de dos líneas cualesquiera. Regrese al paso 2 .

Método Dual

Para cualquier problema de Programación Lineal (primal), debe tener su metodología (dual); el problema primal puede tener más restricciones que variables, esto significa la solución dual y debe resolverse con nuevas restricciones.
1. Si el primal se refiere a maximizar el problema dual será minimizar.
2. Los coeficientes de la función objetivo del primal serán los coeficientes del vector de disponibilidad de recursos en el dual.
3. Así los coeficientes del vector disponibilidad de recursos del problema primal serán los coeficientes de la función objetivo (vector costos, precios, utilidad) en el problema dual.
4. Los coeficientes de las restricciones en el primal (transpuesta de la matriz) será la matriz de coeficientes en el dual.
5. Los signos de desigualdad del problema dual son controlables a los del problema primal
6. Las variables ¨x¨ del primal se convierten en nuevas variables ¨Y¨ en el dual.
Considerando el siguiente problema primal, calcular su modelo dual.
Sea maximizar
Z = 3x + 5y

El resultado como consecuencia de un sistema primal a un sistema dual queda de la siguiente forma:

Método de Transporte

Es una forma del Método Simplex y de Programación Lineal para resolver situaciones de Origen-Destino basandose en dos tipos de Método:

• Esquina Noroeste
• Vogel
  

La oferta y demanda deben estar equilibradas.

Debe haber linealidad.

n= filas

m= columnas

n+m-1=No. de asignaciones

Método de la gran "M"

Existen problemas de Programación Lineal para el caso de minimización donde el método simplex ya conocido no es funcional debido a que los valores de una o más variables básicas son negativas y eso significa que se está violando el principio de no negatividad en las restricciones para ello el problema se podrá resolver por otros métodos que son:

a) El método de la gran ¨M¨
b) El método de las dos fases

Método de la gran M (Penalización)

Consiste en modificar el problema original para dar lugar a un nuevo problema, agregando una variable ¨W ¨ llamada artificial y que se penalizara mediante un costo ¨M¨ de valores grandes y positivos que en forma arbitraria, permite que la función objetivo forme valores muy grandes también cuando sea minimización llegara el momento en que ¨W¨ = O y esto indica haber regresado al problema original, pero si se llega W > 0 entonces el problema no tiene solución.

≥ Variable artificial = -R1
≤ Variable artificial = +R2

Minimice
Z = 4x1 + x2

Sujeta a 3x1 + x2 = 3
4x1 + 3x2 ≥ 6
X1 + 2x2 ≤ 4

X1, x2 ≥ 0 3x1 + x2 = 3 → 3x1 + x2 = 3

4x1 + 3x2 ≥ 6 → 4x1 + 3x2 + -x3 = 6

X1 + 2x2 ≤ 4 → x1 + 2x2 + x4 = 4

X1, x2 ≥ 0 → x1, x2, x3, x4 ≥ 0 condición de no negatividad

Minimice z= 4x1 + x2 + Mr1 + Mr2

3x1 + x2 + R1 = 3
4x1 + 3x2 –x3 + R2 = 6
X1 + 2x2 +x4 = 4

X1, x2, x3, x4, R1, R2 ≥ 0
Z = -4x – x2 – Mr1 – Mr2 = 0

El método simplex para soluciones de programación lineal
Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.
Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.

METODO SIMPLEX (MAXIMIZACION)

Se consideran las siguientes fases:
1. Convertir las desigualdades en igualdades
Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales:

2. Igualar la función objetivo a cero
3. Escribir la tabla inicial simples
4. Seleccionar el número negativo mayor en valor absoluto de la F.O.
5. Hacer la tabla de nuevos coeficientes
· La columna donde aparece el numero negativo mayor seleccionado se llama columna pivote y nos indica cualquier variable de decisión es la que entra a la base.
· Con los valores solución dividimos cada uno de los términos de la columna pivote y tomamos el numero menor de esos cocientes para designar nuestra fila pivote y nos indica la variable holgura que sale de la base y nos determina nuestro pivote operacional
· Con el pivote operacional dividimos todos los valores de la fila pivote con la finalidad de hacerlo 1
· Hacer cero todos los valores de la columna pivote incluyendo la F.O.

Programación lineal

Es el proceso o técnica de solución de sistemas de ecuaciones o inecuaciones lineales, sujetas a un conjunto de restricciones mediante el estudio de modelos matemáticos concernientes a la asignación eficiente de los recursos para una mejor toma de decisiones maximizar o minimizar las funciones lineales en programación lineal tiene como objetivo maximizar los beneficios o minimizar los costos.

ELEMENTOS DE UN MODELO P.L.

1.- Variables de decisión: “x” y “y”
2.- Función objetivo: Ecuación
3.- Restricciones: Desigualdades o limitantes para solucionar el problema
4.- Condición de no negatividad: Que los resultados no sean (-)

Investigación de operaciones 1. Identificar necesidades
(matemáticas para la toma 2. Ubicar opciones
de decisiones) 3. Encontrar restricciones
4. Encontrar pobjetivos


REGLAS PARA CONSTRUIR UN MODELO DE P.L

Definir variables de decisión (x,y)
Definir el objetivo o meta en términos de sus variables de decisión. Para hacer esto introducimos el concepto: función objetivo (z)
Definir restricciones de capacidad. Se representan como desigualdades o inecuaciones.
Restringir todas las variables para que el resultado se a no negativo.

METODO GRAFICO
La condición para la solución de este método de P.L. es que no deben existir más de 2 variables en la ecuación, debemos cambiar o convertir las desigualdades en ecuaciones para conocer el semiplano de solución de cada desigualdad.
Polígono de solución: Conjunto solución que satisface la desigualdad donde se intersecan los semiplanos de solución, formando un polígono cuya área nombraremos área de solución factible.

ejemplo:

El granjero Lopez tiene 480 hectáreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del verano. Dados márgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados a la derecha, ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad?¿Cuál es ésta utilidad máxima?

Maiz:
Utilidad: $40 por hrs.
Trabajo: 2hs por hrs.
Trigo:
Utilidad: $30 por hrs.
Trabajo: 1hs por hrs.

Solución: Como primer paso para la formulación matemática de este problema, se tabula la información dada (Tabla 1). Si llamamos x a las hectáreas de maíz e y a las hectáreas de trigo. Entonces la ganancia total P, en dólares, está dada por:

P=40x+30y

Que es la función objetivo por maximizar.

maiz trigo hectareas

horas 2 1

hectareas 1 1 800

utilidad por unidad 40 30 480

La cantidad total de tiempo par hectáreas para sembrar maíz y trigo está dada por 2x+y horas que no debe exceder las 800 horas disponibles para el trabajo. Así se tiene la desigualdad:

2x+y<800>

En forma análoga, la cantidad de hectáreas disponibles está dada por x+y, y ésta no puede exceder las hectáreas disponibles para el trabajo, lo que conduce a la desigualdad.
Por último, si no queremos tener pérdidas, x y y no pueden ser negativa, de modo que

x>0
y>0

En resumen, el problema en cuestión consiste en maximizar la función objetivo P=40x+30y
sujeta a las desigualdades

2x+y<800
x+y<480
x>0
y>0

Solución Gráfica

Los problemas de programación lineal en dos variables tienen interpretaciones geométricas relativamente sencillas; por ejemplo, el sistema de restricciones lineales asociado con un problema de programación lineal bidimensional- si no es inconsistente- define una región plana cuya frontera está formada por segmentos de recta o semirrectas, por lo tanto es posible analizar tales problemas en forma gráfica.
Si consideremos el problema del granjero López, es decir, de maximizar P = 40x+ 30y sujeta a

2x+y<800
x+y<480
x>0, y>0

INVESTIGACION DE OPERACIONES

DEFINICION
Rama de las matemáticas consistente en el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos con objetivo de realizar un proceso de toma de dediciones.

Trata del estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (optimizar) el funcionamiento del mismo.

La investigación de operaciones permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar como se puede maximizar o minimizar los recursos.

HISTORIA: ORÍGENES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

La investigación de operaciones se remonta a muchas décadas, cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigación de operaciones, casi siempre se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra mundial. Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma más efectiva. Por esto, las administraciones militares americana e inglesa hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico a éste y a otros problemas estratégicos y tácticos. De hecho, se les pidió que hicieran investigación sobre operaciones (militares). Estos equipos de científicos fueron los primeros equipos de IO.

Al terminar la guerra, el éxito de la investigación de operaciones en las actividades bélicas generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar.

Después de la guerra, muchos científicos que habían participado en los equipos de IO o que tenían información sobre este trabajo, se encontraban motivados a buscar resultados sustanciales en este campo; de esto resultaron avances importantes. Un ejemplo sobresaliente es el método simplex para resolver problemas de programación lineal, desarrollada en 1947 por George Dantzing.

APLICACIÓN

Es una poderosa herramienta para el uso optimo de los recursos escasos, que se refieren a la conducción, y coordinación de operaciones dentro de una organización, es esencialmente inmaterial se ha aplicado de manera extensa en áreas, como manufactura, transporte, construcción, telecomunicaciones, plantación financiera, cuidado de la salud y servicios públicos entre otros.

ALGORITMO: Conjunto de reglas con un número finito de pasos para resolver un problema.

OPTIMIZACION: Proceso utilizado para mejorar cualquier sistema de trabajo. En particular, se utiliza este término en relación con el intento de alcanzar la rentabilidad máxima de un producto o de un plan de medios.

MAXIMIZACION: Comportamiento decisivo en donde un empresario quiere siempre seleccionar la mejor alternativa entre otras posibles.

MINIZACION: Evitar en lo posible la producción de residuos, fomentando el desarrollo de procesos que supongan una reducción de la generación de residuos.

1 UNIDAD INVESTIGACION DE OPERACIONES

la factibilidad se refiere a q el proyecto q tienes en mente puede llevarse a cabo. la factibilidad puede ser operativa, tecnica y economica.la factibilidad operativa esta determinada por la disponibilidad de todos los recursos necesarios para llevar adelante un proyecto. ej. quienes serian tus proveedores, como armarias en deposito de mercaderias, etc.la factibilidad tecnica se relaciona con ver si tu equipo cuenta con las herramientas, los conocimientos, las habilidades y la expeciencia para hacer q tu proyecto sea exitoso.la factibilidad economica surge de analizar si los recursos economicos y financieros necesarios para desarrollar las actividades pueden ser cubiertos con el capital del q dispones.

Modelo matemático" es uno de los tipos de modelos científicos, y se basa en expresar utilizando los instrumentos de la teoría matemática, declaraciones, relaciones, proposiciones sustantivas de hechos o de contenidos simbólicos: están implicadas variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad.