Programación lineal

Es el proceso o técnica de solución de sistemas de ecuaciones o inecuaciones lineales, sujetas a un conjunto de restricciones mediante el estudio de modelos matemáticos concernientes a la asignación eficiente de los recursos para una mejor toma de decisiones maximizar o minimizar las funciones lineales en programación lineal tiene como objetivo maximizar los beneficios o minimizar los costos.

ELEMENTOS DE UN MODELO P.L.

1.- Variables de decisión: “x” y “y”
2.- Función objetivo: Ecuación
3.- Restricciones: Desigualdades o limitantes para solucionar el problema
4.- Condición de no negatividad: Que los resultados no sean (-)

Investigación de operaciones 1. Identificar necesidades
(matemáticas para la toma 2. Ubicar opciones
de decisiones) 3. Encontrar restricciones
4. Encontrar pobjetivos


REGLAS PARA CONSTRUIR UN MODELO DE P.L

Definir variables de decisión (x,y)
Definir el objetivo o meta en términos de sus variables de decisión. Para hacer esto introducimos el concepto: función objetivo (z)
Definir restricciones de capacidad. Se representan como desigualdades o inecuaciones.
Restringir todas las variables para que el resultado se a no negativo.

METODO GRAFICO
La condición para la solución de este método de P.L. es que no deben existir más de 2 variables en la ecuación, debemos cambiar o convertir las desigualdades en ecuaciones para conocer el semiplano de solución de cada desigualdad.
Polígono de solución: Conjunto solución que satisface la desigualdad donde se intersecan los semiplanos de solución, formando un polígono cuya área nombraremos área de solución factible.

ejemplo:

El granjero Lopez tiene 480 hectáreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del verano. Dados márgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados a la derecha, ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad?¿Cuál es ésta utilidad máxima?

Maiz:
Utilidad: $40 por hrs.
Trabajo: 2hs por hrs.
Trigo:
Utilidad: $30 por hrs.
Trabajo: 1hs por hrs.

Solución: Como primer paso para la formulación matemática de este problema, se tabula la información dada (Tabla 1). Si llamamos x a las hectáreas de maíz e y a las hectáreas de trigo. Entonces la ganancia total P, en dólares, está dada por:

P=40x+30y

Que es la función objetivo por maximizar.

maiz trigo hectareas

horas 2 1

hectareas 1 1 800

utilidad por unidad 40 30 480

La cantidad total de tiempo par hectáreas para sembrar maíz y trigo está dada por 2x+y horas que no debe exceder las 800 horas disponibles para el trabajo. Así se tiene la desigualdad:

2x+y<800>

En forma análoga, la cantidad de hectáreas disponibles está dada por x+y, y ésta no puede exceder las hectáreas disponibles para el trabajo, lo que conduce a la desigualdad.
Por último, si no queremos tener pérdidas, x y y no pueden ser negativa, de modo que

x>0
y>0

En resumen, el problema en cuestión consiste en maximizar la función objetivo P=40x+30y
sujeta a las desigualdades

2x+y<800
x+y<480
x>0
y>0

Solución Gráfica

Los problemas de programación lineal en dos variables tienen interpretaciones geométricas relativamente sencillas; por ejemplo, el sistema de restricciones lineales asociado con un problema de programación lineal bidimensional- si no es inconsistente- define una región plana cuya frontera está formada por segmentos de recta o semirrectas, por lo tanto es posible analizar tales problemas en forma gráfica.
Si consideremos el problema del granjero López, es decir, de maximizar P = 40x+ 30y sujeta a

2x+y<800
x+y<480
x>0, y>0